La nouvelle forme mathématique « Einstein » crée un jamais

Une nouvelle forme appelée einstein a pris d'assaut le monde des mathématiques. La tuile escarpée en forme de chapeau peut couvrir un plan infini avec des motifs qui ne se répètent jamais.

Carreler de manière créative le sol d'une salle de bain n'est pas seulement une tâche stressante pour les bricoleurs. C'est aussi l'un des problèmes les plus difficiles en mathématiques. Depuis des siècles, les experts étudient les propriétés particulières des formes de carreaux qui peuvent couvrir les sols, les dosserets de cuisine ou les plans infiniment grands sans laisser de vide. Plus précisément, les mathématiciens s'intéressent aux formes de tuiles qui peuvent couvrir tout le plan sans jamais créer de motif répétitif. Dans ces cas particuliers, appelés pavages apériodiques, il n'y a pas de motif que vous pouvez copier et coller pour maintenir le pavage. Peu importe comment vous hachez la mosaïque, chaque section sera unique.

Jusqu'à présent, les pavages apériodiques nécessitaient toujours au moins deux tuiles de formes différentes. De nombreux mathématiciens avaient déjà abandonné l'espoir de trouver une solution avec une seule tuile, appelée l'insaisissable tuile "einstein", qui tire son nom des mots allemands pour "une pierre".

Puis, en novembre dernier, David Smith, ingénieur en systèmes d'impression à la retraite du Yorkshire, en Angleterre, a fait une percée. Il a découvert une forme escarpée à 13 côtés qui, selon lui, pourrait être une tuile d'Einstein. Lorsqu'il en a parlé à Craig Kaplan, un informaticien de l'Université de Waterloo en Ontario, Kaplan a rapidement reconnu le potentiel de la forme. En collaboration avec le développeur de logiciels Joseph Samuel Myers et le mathématicien Chaim Goodman-Strauss de l'Université de l'Arkansas, Kaplan a prouvé que la tuile singulière de Smith pave en effet le plan sans lacunes et sans répétition. Mieux encore, ils ont découvert que Smith avait découvert non seulement une mais une infinité de tuiles d'Einstein. L'équipe a récemment rendu compte de ses résultats dans un article qui a été publié sur le serveur de préimpression arXiv.org et qui n'a pas encore été évalué par des pairs.

Quiconque a parcouru les couloirs en mosaïque à couper le souffle du palais Alhambra à Grenade, en Espagne, connaît le talent artistique impliqué dans le carrelage d'un avion. Mais une telle beauté recèle des questions sans réponse, qui sont, comme l'a déclaré le mathématicien Robert Berger en 1966, indémontrables.

Supposons que vous vouliez carreler une surface infinie avec un nombre infini de carreaux carrés. Vous devez cependant suivre une règle : les bords des tuiles sont colorés et seuls les bords de même couleur peuvent se toucher.

Avec des tuiles infinies, vous commencez à poser des pièces. Vous trouvez une stratégie qui, selon vous, va fonctionner, mais à un moment donné, vous vous retrouvez dans une impasse. Il y a un espace que vous ne pouvez tout simplement pas combler avec les tuiles dont vous disposez, et vous êtes obligé de placer des bords incompatibles les uns à côté des autres. Jeu terminé.

Mais certainement, si vous aviez la bonne tuile avec la bonne combinaison de couleurs, vous auriez pu vous en sortir. Par exemple, vous n'aviez peut-être besoin que d'un seul carreau dont tous les bords étaient de la même couleur. Un mathématicien regarderait votre jeu et demanderait : « Pouvez-vous déterminer si vous allez tomber dans une impasse simplement en regardant les types de tuiles colorées qui vous ont été données au départ ? Cela vous ferait certainement gagner beaucoup de temps.

La réponse, a trouvé Berger, est non. Il y aura toujours des cas où vous ne pourrez pas prédire si vous pouvez couvrir la surface sans lacunes. Le coupable : la nature imprévisible et non répétitive des pavages apériodiques. Dans son travail, Berger a trouvé un ensemble incroyablement grand de 20 426 tuiles de couleurs différentes qui peuvent paver un plan sans que le motif de couleur ne se répète jamais. Et encore mieux, il est physiquement impossible de former un motif répétitif avec cet ensemble de carreaux, quelle que soit la façon dont vous les posez.

Cette découverte a soulevé une autre question qui taraude les mathématiciens depuis : quel est le nombre minimum de formes de tuiles qui, ensemble, peuvent créer une tessellation apériodique ?

Dans les décennies qui ont suivi, les mathématiciens ont trouvé des ensembles de carreaux de plus en plus petits qui peuvent créer des mosaïques apériodiques. Tout d'abord, Berger en a trouvé un avec 104 tuiles différentes. Puis, en 1968, l'informaticien Donald Knuth a trouvé un exemple avec 92. Un an plus tard, le mathématicien Rafael Robinson a trouvé une variante avec seulement six types de tuiles - et enfin, en 1974, le physicien Roger Penrose a présenté une solution avec seulement deux tuiles.

Puis la progression s'est arrêtée. De nombreux mathématiciens ont depuis recherché la solution à un seul carreau, "l'einstein", mais aucun n'a réussi, y compris Penrose, qui a finalement tourné son attention vers d'autres énigmes. Mais David Smith, le retraité de 64 ans, n'avait pas baissé les bras. Il aimait jouer avec PolyForm Puzzle Solver, un logiciel qui permet aux utilisateurs de concevoir et d'assembler des tuiles, selon le New York Times. Si une forme semblait prometteuse, Smith a découpé plusieurs pièces de puzzle en papier pour expérimenter. Puis, en novembre 2022, il est tombé sur le désormais célèbre carreau qu'il a appelé le "chapeau" en raison de sa forme de chapeau haut de forme - bien que Kaplan souligne que beaucoup pensent qu'il ressemble plus à un T-shirt.

Lorsque Kaplan a reçu un e-mail de Smith avec le "chapeau", cela a rapidement piqué son intérêt. Avec l'aide d'un logiciel, il a aligné de plus en plus de carreaux en forme de chapeau, et il semblait qu'ils pourraient vraiment couvrir le plan sans former de motif répétitif.

Mais un tel motif répétitif pourrait encore se révéler s'il continuait à poser des tuiles - peut-être qu'une partie redondante n'apparaîtrait que lorsque l'avion aurait atteint plusieurs années-lumière de long. Les chercheurs devaient prouver mathématiquement que le pavage était apériodique. Kaplan s'est tourné vers Myers et Goodman-Strauss, qui avaient beaucoup travaillé avec le carrelage dans le passé.

Au début, ils ont été étonnés par la simplicité de la tuile einstein potentielle car le "chapeau" a une forme assez simple à 13 côtés. Si vous aviez demandé à Goodman-Strauss à quoi ressemblerait une tuile einstein insaisissable auparavant, "j'aurais dessiné une chose folle, sinueuse et méchante", a-t-il déclaré à Science News. Et en examinant de plus près la forme, les mathématiciens ont réalisé qu'ils pouvaient jouer avec les longueurs des côtés tout en créant une mosaïque homogène et apériodique. Cette seule forme avait ouvert la porte à un nombre infini de tuiles d'einstein.

Les mathématiciens avaient besoin de preuves tangibles pour étayer leurs affirmations. Tout d'abord, ils ont utilisé des méthodes sur lesquelles les experts s'appuient depuis des décennies pour montrer que certains types de carreaux peuvent créer des mosaïques apériodiques. Mais Myers est également allé au-delà de ces anciennes méthodes pour créer une toute nouvelle façon de le prouver, qui peut également être utile pour d'autres pavages.

La méthode éprouvée est mieux expliquée en utilisant l'ensemble de six tuiles de Robinson de 1969. Les lignes orange et vertes dessinées sur les tuiles de Robinson fonctionnent comme les bords colorés dans l'exemple précédent des carrés infinis. Ici, les règles sont tout aussi simples : deux tuiles Robinson ne peuvent être placées l'une à côté de l'autre que si les lignes verte et orange continuent sans à-coups.

Le respect de cette règle donne un motif reconnaissable composé de carrés orange de plus en plus grands. Si vous continuez à effectuer un zoom arrière, les carrés continuent de grossir et se croisent. Cela construit une structure hiérarchique où chaque partie de la mosaïque a sa place unique. Vous ne pouvez pas déplacer ou échanger des sections sans enfreindre les règles et détruire la structure. Cela nous indique que la tessellation doit être apériodique.

Kaplan, Goodman-Strauss et Myers ont pu montrer quelque chose de similaire pour la tuile d'einstein en forme de chapeau proposée par Smith. Pour rendre la tuile plus facile à travailler, ils ont lissé les bords escarpés du chapeau en des formes plus reconnaissables et utiles - une seule tuile de chapeau, par exemple, peut être approximée par un triangle. Ils ont également utilisé des grappes de plusieurs tuiles einstein pour créer différentes formes. Ils pourraient disposer quatre tuiles chapeau dans une structure hexagonale, deux tuiles dans un pentagone et une autre combinaison de deux tuiles dans un parallélogramme. Ces quatre formes lissées, composées chacune uniquement de tuiles d'Einstein, pouvaient alors recouvrir complètement le plan selon un motif.

Les mathématiciens ont prouvé que ce pavage ne contenait aucun motif répétitif car, tout comme l'ensemble de six carreaux de Robinson, ces quatre formes spéciales formaient des structures hiérarchiques. Si vous organisez ces quatre groupes de tuiles d'Einstein (hexagone, pentagone, parallélogramme et triangle) ensemble, ils créeront inévitablement une version plus grande de l'une de ces mêmes formes. Ensuite, si vous combinez ces formes plus grandes ensemble, vous créerez des versions encore plus grandes de ces formes, et ainsi de suite. Ce processus peut être répété indéfiniment, donnant une structure hiérarchique. Par conséquent, le motif global ne peut pas être divisé en sections qui se répètent. Si vous faisiez simplement glisser des parties du motif vers un autre endroit, cette structure globale serait brisée.

Cette preuve a nécessité des calculs complexes, alors les trois scientifiques ont demandé l'aide d'un ordinateur. Ils ont publié librement leur preuve assistée par ordinateur afin que n'importe qui puisse vérifier les erreurs.

Mais Myers n'était pas encore satisfait. Il a créé une nouvelle méthode pour prouver l'apériodicité qui pourrait être effectuée à la main, sans ordinateur, en montrant que le chapeau d'einstein est connecté à d'autres pavages bien connus qui sont plus faciles à étudier. Ces pavages apparentés sont constitués de formes appelées polyiamants, de simples tuiles formées en combinant des triangles équilatéraux. Myers a ajusté certains des bords du chapeau einstein pour former deux arrangements de polyiamant différents qui suivent le même motif de carrelage du chapeau - l'un en forme de chevron et l'autre comme un hexagone et un losange assemblés. Malgré leurs différences visuelles, ces trois arrangements ont tous les mêmes propriétés. Si les mathématiciens pouvaient prouver que les deux pavages en polyiamant sont apériodiques, alors le pavage original doit également être apériodique.

Heureusement, avec les polyiamants, cette preuve est une question de mathématiques de base. Les mathématiciens peuvent représenter les symétries des arrangements de polyiamants avec une quantité appelée vecteur de translation. Si les deux nouveaux arrangements contenaient des motifs répétitifs, la longueur de leurs vecteurs de translation aurait dû être liée l'une à l'autre - plus précisément, leur rapport aurait dû être un nombre rationnel. Mais au lieu de cela, les vecteurs avaient un rapport de la racine carrée de 2 - certainement un nombre irrationnel - montrant que les arrangements de polyiamant n'étaient pas périodiques. Par conséquent, la tuile à chapeau originale était bien un einstein.

La nouvelle méthode de preuve de Myers pourrait également être utile pour d'autres pavages, expliquent les scientifiques dans leur article. Mais pour l'instant, les carreleurs experts et amateurs sont ravis d'avoir en main la tuile einstein tant attendue. Les possibilités de décoration intérieure sont littéralement infinies. Comme le mathématicien Colin Adams du Williams College l'a dit à New Scientist, "je le mettrais dans ma salle de bain si je le carrelais en ce moment."

Cet article a paru à l'origine dans Spektrum der Wissenschaft et a été reproduit avec permission.

Manon Bischoff est physicien théoricien et éditeur chez Spektrum, une publication partenaire de Scientific American. Crédit : Nick Higgins

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